Jak rozwiązać układ równań liniowych

Równanie liniowe to równanie, które tworzy wykres linii. Układ równań liniowych występuje wtedy, gdy istnieją dwa lub więcej równań liniowych zgrupowanych razem.

Aby uprościć ilustrację, rozważymy układy dwóch równań. Jak sama nazwa wskazuje, istnieją dwie nieznane zmienne. Często są oznaczone literami x i y . Jeśli równania opisują jakiś proces, litery mogą być wybierane przez role, które pełnią. Na przykład d może oznaczać odległość, a t czas.

W tym artykule dowiemy się, jak rozwiązywać układy równań liniowych za pomocą dwóch zabawnych metod. Ale zanim zaczniemy, zobaczmy, jak skończymy z konkretnym systemem, patrząc na przykład z życia.

Wyprowadzenie systemu

Chłopiec wsiada na rower i zaczyna jeździć do szkoły. Co minutę jeździ 200 jardów.

6 minut później jego matka zdaje sobie sprawę, że jej syn zapomniał o lunchu. Wsiada na własny rower i zaczyna podążać za chłopcem. Co minutę jeździ 500 jardów (jest olimpijką i złotą medalistką).

Chcemy dowiedzieć się, ile czasu zajmie matce dogonienie chłopca i jak daleko musi jechać, aby to zrobić.

Ponieważ chłopiec pokonuje 200 jardów na minutę, w t minutach pokona 200 razy t jardów, czyli 200 jardów.

Jego matka zaczyna jeździć na rowerze 6 minut później, więc jeździ przez (t - 6) minut. Ponieważ pokonuje 500 jardów na minutę, w (t - 6) minutach pokonuje 500 razy (t - 6) jardów lub 500 (t - 6) jardów.

Zanim go dogoniła, oboje pokonali tę samą odległość. Powiedzmy na razie, że odległość wynosi d .

Dla chłopca mamy   d = 200t, a dla matki d = 500 (t - 6) . Mamy teraz nasz układ dwóch równań.

Często dodaje się nawias klamrowy, aby wskazać, że równania tworzą układ.

Zobaczmy teraz, jak możemy rozwiązać ten system.

Rozwiązywanie przez podstawienie

Pierwsza metoda, którą rozważymy, wykorzystuje substytucję .

Mamy tu dwie niewiadome, d i t . Chodzi o to, aby pozbyć się jednej zmiennej, wyrażając ją za pomocą drugiej zmiennej.

Z równania na górze dowiadujemy się , że d = 200t , więc weźmy 200t za d w równaniu na dole. W rezultacie mamy równanie zawierające tylko zmienną t .

Najpierw rozszerzamy prawą stronę: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

Następnie upraszczamy, przenosząc nieznane elementy na jedną stronę, a znane elementy na drugą. Wynik to: 500 t - 200 t = 3000 .

Rozwiązanie dla t daje nam t = 10 , a ponieważ mierzymy czas w minutach, t = 10 minut . Innymi słowy, matka dogoni syna za 10 minut.

Druga część naszego problemu polega na tym, aby dowiedzieć się, jak daleko musiała jechać, aby go dogonić.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy znaleźć d . Podstawienie t = 10 w dowolnym równaniu da nam tę odpowiedź.

Dla ułatwienia użyjmy górnego równania, d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Ponieważ mierzymy odległość w jardach, d = 2000 jardów .

Sprawdźmy jak dotąd Twoje rozumienie - spróbuj samodzielnie rozwiązać następny system:

{

y = 2x

y = 3 (x - 1)

Wybierz 1 odpowiedź


x = 3 i y = 6
x = 1 i y = 2
x = 6 i y = 3
x = 1/2 i y = 2/3
Zatwierdź

W powyższym systemie nieznanymi zmiennymi są x i y .

Z górnego równania wiemy, że y = 2x . Podstawiając to do równania na dole, otrzymujemy 2 (2x) = 3 (x + 1) .

Po rozszerzeniu i uproszczeniu otrzymujemy 4x = 3x + 3 . Lub x = 3 . Dlatego y = 2 * 3 = 6 .

Rozwiązywanie za pomocą wykresów

Druga metoda, którą rozważymy, wykorzystuje wykresy ,gdzie znajdujemy rozwiązanie układu równań, przedstawiając je na wykresie.

Na przykład weźmy ten system: y = 2x + 3 i y = 9 - x .

Wykres każdego równania będzie linią. Pierwsza dla y = 2x + 3 wygląda następująco:  

Następnie możemy wykreślić linię dla y = 9 - x :  

Te dwie linie przecinają się dokładnie w jednym punkcie. Ten punkt jest jedynym rozwiązaniem obu równań:

Uporządkowana para (2, 7) daje nam współrzędne naszego punktu przecięcia. Ta para jest rozwiązaniem dla systemu. Podstawienie x = 2 i y = 7 pozwoli nam to zweryfikować.

Co się stanie, jeśli wykresy są równoległe i wcale się nie przecinają? Na przykład:

Kiedy wykresy równań nie przecinają się, oznacza to, że nasz system nie ma rozwiązania. Dowodzi tego próba rozwiązania przez podstawienie.

Wynik x - 1 = x - 3 będzie wynosił 0 = -2 , co zawsze jest fałszywe .

Ale co, jeśli dwa wykresy są takie same i znajdują się bezpośrednio jeden na drugim?

W takich przypadkach istnieje nieskończona liczba punktów przecięcia. Oznacza to, że nasz system ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Dowiedzie tego metoda substytucyjna.

Wynik x - 2 = x - 2 to 0 = 0 , co zawsze jest prawdą .

Więcej praktyki

Spróbuj użyć metody zastępowania i metody graficznej, aby rozwiązać następujące systemy. Te metody wzajemnie się uzupełniają i pomagają utrwalić wiedzę.

{

y = 2

3 lata - 2x = 4

Wybierz 1 odpowiedź


System nie ma rozwiązania
x = 1/2 i y = 1
x = 1 i y = 2
x = 0 i y = 2
Zatwierdź

Wybór konkretnej zmiennej do użycia w zamianie powinien ułatwić znalezienie rozwiązania.

Spróbuj wyrazić x z dwoma innymi członami w górnym równaniu, a następnie zamień wynik na dolne równanie. W ten sposób unikniesz zajmowania się ułamkami.

{

x + 5y = 7

3x - 2 lata = 4

Wybierz 1 odpowiedź


x = 5 i y = 5/2
x = 1 i y = 2
x = 1 i y = 1
x = 2 i y = 1
Zatwierdź

Zróbmy jeszcze jedno wyzwanie:

{

-6x - 8 lat = 4

y = -x - 1

Wybierz 1 odpowiedź


x = -2 i y = 1
Nieskończona ilość rozwiązań
x = 2 i y = -1
x = -1/6 i y = 6
Zatwierdź

Teraz, gdy wiesz już wystarczająco dużo na temat podstawiania i tworzenia wykresów, wyjdź i rozwiąż więcej równań liniowych.